INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

ASESORÍA 1: TRIGONOMETRÍA

Es una palabra que deriva del griego Τριγωνομετρíα, Tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ángulo, metría (μετρíα) medida, es decir, "medida de tres ángulos". Puedes consultar la definición de trigonometría que da el diccionario de la R.A.E.

Con objeto de estudiar los ángulos y su medida consideraremos que un ángulo es un recorrido en la circunferencia con centro el origen y de radio unidad o circunferencia goniométrica, el punto de partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la medida de ese recorrido. Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es contrario al de las agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo.

Sistema Circular O Radian:

Es la medida del ángulo central correspondiente a un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. La unidad es el radian.

Radianes

Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia. Como la medida de toda la circunferencia es 2·Π·radio, resulta conveniente tomar como unidad de medida el radio. Por razones evidentes a esta unidad se le llama radián.

Sistema Sexagesimal

Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60. La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual a parte de la circunferencia de un círculo.

Un minuto (') es la sesentava parte de un grado; un segundo (") es la sesentava parte de un minuto, o sea la tres mil sesentava parte de un grado.

Grados Sexagesimales

Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. Así un ángulo se mide en:

Grados º minutos ' segundos ''

Como sabemos el perímetro de una circunferencia cualquiera es 2 π r, luego el semiperímetro de la semicircunferencia es

2 π radianes = 360 grados

Es decir, π radianes = 180 grados, de donde si despejamos el grado resulta:

1 grado =   π radianes ~ 0,0174 radianes

180

Y si despejamos el radián resulta:

1 radián = 180 grados ~ 57,296° = 57º 17’ 45” grados

π

Nota: π es aproximadamente igual a 3,14. Un ángulo de  π  radianes equivale a un ángulo de 180º. Pero π es diferente a 180.

ASESORÍA 2: Operaciones en el Sistema Sexagesimal

SUMA Y RESTA DE MEDIDAS ANGULARES: para sumar o restar ángulos en el sistema sexagesimal se deben ubicar las unidades correctamente, en forma análoga a la suma de decimales, es decir, se colocan segundos debajo de segundos, minutos debajo de minutos y grados debajo de grados, luego se procede a realizar la suma en forma tradicional, para presentar el resultado se debe tener en cuenta que el valor máximo de minutos y segundos es 59, ya que a partir de 60 pasa a la otra unidad, por ejemplo 74 segundos corresponden a 60 segundos mas 14 segundos, es decir 1 minuto y 14 segundos:
74" = 60" + 14" = 1' 14"

Ejemplos:

1. Efectuar: 47° 23’ 42” + 241° 18’ 6” + 136° 22’ 11” para resolverlo, lo primero que hacemos es organizarlos de tal manera que queden grados debajo de grados, minutos debajo de minutos y segundos debajo de segundos:

47° 23' 42"
241° 18' 6"
136° 22' 11"
424° 63' 59"

Pero sabemos que en 63' hay 60' + 3', osea 1° y 3' este grado se agrega a las unidades de grado, entonces 424° + 1° son 425°

Resultado: 425° 03’ 59”

2. Efectuar: 248° 41’ 38” + 121° 58’ 34” + 88° 46’ 56”, igual que en el ejemplo anterior, organizamos la operación:

248° 41' 38"
121° 58' 34"
88° 46' 56"
457° 145' 128"

Para presentar el resultado consideramos los resultados mayores a 59, es decir los 128" de los cuales sacamos 120, que corresponden a 2' y los sumamos a los minutos, quedan entonces solo 8". Luego 145'+2' son 147', que también superan el máximo de la unidad, expresamos el resultado como 147' = 120' + 27' y pasamos los 120' a la unidad de grados, y quedan 27'.
120' son 2°, por lo tanto tenemos 457° + 2° = 459°,

Resultado: 459° 47’ 8”

3.

CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES

Para pasar un ángulo de grados a radianes, se multiplica el valor dado en grados por la fracción π rad /180, recordando que las fracciones multiplican de frente, luego se simplifica la fracción resultante.

Ejemplo 1: Pasar 120° a radianes.

Ejemplo 2: Pasar 330° a radianes.

CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS

Para pasar un ángulo de radianes a grados, se multiplica el valor dado en radianes por la fracción 180/ π rad, recordando que las fracciones multiplican de frente, luego se simplifica la fracción resultante.

Ejemplo 1: Pasar (3π/4) a grados.

Ejemplo 2: Pasar (π/9) a grados.

ASESORÍA 3: Teorema de Pitágoras

Los Triángulos

Un triángulo es: Es una figura geométrica cerrada de tres lados. Sus elementos son:

1. Tres lados que se nombran con letras minúsculas opuestas a las letras de sus vértices, o con el segmento de recta, a = BC, b = AC, c = AB

2. Tres vértices: Se nombran con letras mayúsculas, A, B, C

3. Tres ángulos: se pueden nombrar de varias maneras, con letras griegas con la letra del vértice y un símbolo de ángulo encima, con las tres letras de los vértices y la central del vértice que la contiene.

TIPOS DE TRIÁNGULOS

PPor los lados	Escaleno: medida de lados diferentes.	Isosceles: tiene dos lados iguales.	Equilatero: tiene los 3 lados iguales.
PPor los ángulos	Acutángulo: sus ángulos son agudos (menores 90°).	Rectángulo: Tiene un ángulo que mide 90°.	Obtusángulo: Tiene un ángulo mayor a 90°.

Los triángulos tienen unas propiedades:

La medida de la sumas de sus 3 ángulos es 180°.
Todo triángulo equilatero es equiángulo.
En los triángulos isosceles, los ángulos opuestos a los lados iguales, tambien son iguales.

El teorema de Pitágoras es H² = CO² + CA²

Ejercicios de la guía # 2

1.Hallar el valor del ángulo x:

Razones trigonométricas

En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La razón entre los lados de un triángulo determina su forma.

Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo α se definen:

El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

El coseno es el cociente entre cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Ejercicio # 2 de la Guía 3

Ejercicio 2. En la figura, el ángulo de elevación es 26º 36´. Angulo de depresión 33º 42´. Hallar la altura de cada edificio, si están a una distancia de 24m.

Ejercicio 3. Hallar el valor TODAS las funciones trigonométricas de los ángulos: 300º

Cuadrante

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

I

+

+

+

+

+

+

II

+

-

-

-

-

+

III

-

-

+

+

-

-

IV

-

+

-

-

+

-

EN EL I CUADRANTE CO Y CA SON POSITIVOS
Sen x = CO/H = + / + = +
Cos x = CA/H = + / + = +
Tan x = CO/CA = + / + = +
EN EL II CUADRANTE CO ES POSITIVO Y CA ES NEGATIVO
Sen x = CO/H = + / + = +
Cos x = CA/H = - / + = -
Tan x = CO/CA = + / - = -
EN EL III CUADRANTE CO Y CA SON NEGATIVOS
Sen x = CO/H = - / + = -
Cos x = CA/H = - / + = -
Tan x = CO/CA = - / - = +
EN EL IV CUADRANTE CO ES NEGATIVO Y CA ES POSITIVO
Sen x = CO/H = - / + = -
Cos x = CA/H = + / + = +

Tan x = CO/CA = - / + = -

ASESORÍA 4:

GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una función trigonométrica es aquella que da el valor de una razón trigonométrica en función del ángulo. Las funciones trigonométricas son: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x. Todas las funciones trigonométricas son periódicas.

Conceptos importantes en las funciones trigonométricas:

Amplitud: La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Es Amplitud = |A|

Periodo (T): El tiempo que tarda en cumplir un ciclo. Es T = 2π/B

Desfase: Es el valor donde comienza el ciclo que comenzaba en (también se conoce como desfase), desplazamiento horizontal. Es Desfase = -C/B

Desplazamiento vertical: Es el valor de D y nos indica cuántas unidades se desplaza la gráfica hacia arriba (+) o hacia abajo (-).

Función Seno

Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido o rango es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1.

3) Corta al eje x en los puntos k·π con k∈Z .

Corta al eje Y en el punto (0, 0) .

4) Es creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 + 2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .

Es decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 + 2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .

5) Es periódica, su periodo T = 2π. Es decir, sen (x) = sen (x + 2π)

La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo T = 2π/k

Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.

ASESORÍA 5:

DESARROLLO DEL PROYECTO “EDUCACIÓN FINANCIERA”

Tema: Ingresos y Gastos del Estado: Impuestos:

Indicador de desempeño: Establece la importancia de la participación ciudadana y el pago responsable de los impuestos para el presupuesto nacional.

Actividad: Se inicia con una lectura de la cartilla “el papel del gobierno” del Banco de la República, páginas 25 y 26.

LOS INGRESOS DEL GOBIERNO en las últimas décadas ha habido una tendencia en el mundo a que el gobierno se retire de las actividades industriales y se concentre en la provisión de ciertos servicios; esta tendencia ha significado que en muchos países los ingresos del gobierno cada vez dependen menos de la producción de bienes y servicios, y se apoyen más en los recaudos por impuestos; así, en la mayoría de las economías la principal fuente de ingresos que recibe el gobierno son los impuestos. Los impuestos o tributos son los gravámenes que el gobierno les cobra a las personas, los hogares y las empresas; además, existen distintos tipos de impuestos que pueden dividirse en tres categorías: a. Impuestos al ingreso de las personas y de las empresas, es decir, sobre los salarios y las utilidades; b. Impuestos al gasto, los cuales incluyen el impuesto al valor agregado y los aranceles; c. Impuestos a la propiedad, que son los que se cobran sobre la finca raíz, como vivienda, edificios de oficinas, locales comerciales y terrenos agrícolas, así como sobre las herencias.

Los impuestos también pueden clasificarse como directos o indirectos. Los impuestos directos son los que gravan directamente a los individuos y a las empresas, como es el caso de los impuestos al ingreso y a la propiedad. Los impuestos indirectos son los que gravan a los bienes y los servicios, como en el caso del impuesto al valor agregado (IVA) y los aranceles; se dice que son impuestos indirectos pues, aunque al final los terminen pagando los hogares o las empresas, lo hacen de manera indirecta al pagar por los bienes y los servicios gravados. Los impuestos constituyen lo que se conoce como ingresos tributarios del gobierno; además, las utilidades de las empresas del Estado que venden bienes y servicios corresponden a los ingresos no tributarios del gobierno. En la medida en que los países son más desarrollados, sus ingresos fiscales se apoyan más en ingresos tributarios y menos en no tributarios. Adicionalmente, la estructura tributaria de los países en desarrollo se apoya principalmente en impuestos indirectos debido, en buena medida, a que son más fáciles de recaudar que los impuestos directos, porque corresponden a una tasa que se cobra, por ejemplo, sobre el valor de una venta, y por tanto no hay lugar a confusión sobre el valor a pagar; en contraste, los impuestos directos, por lo general, dependen del cálculo de los ingresos o de la riqueza, y por tanto su cobro es más complejo. Aunque resulte paradójico, este tipo de estructura tributaria apoyada principalmente en los impuestos indirectos tiende a poner una mayor carga sobre la población más pobre; en efecto, en la medida en que los impuestos indirectos, como el impuesto al valor agregado, son una tarifa que se cobra por igual a todas las personas, el pago que hacen los más pobres de esa tarifa es una proporción mayor de su ingreso que la que gastan los más ricos en el impuesto. En contraste, los países desarrollados se apoyan más en el cobro de impuestos directos e, incluso, en algunos casos, los impuestos indirectos son recaudados por los gobiernos locales y de acuerdo con la capacidad de pago de las regiones.

Luego de la lectura, hacer un resumen y consultar los siguientes impuestos (que son, valor, a que se les aplica y quienes los pagan): El IVA, impuesto a la renta, Impuesto de industria y comercio (ICA), Impuesto de delineación urbana, Impuesto predial unificado, Impuesto de sobretasa a la gasolina, Impuesto sobre vehículos automotores, Impuesto sobre espectáculos públicos. En clase, se hará la discusión de la importancia de conocer estos datos. (Nota para matemáticas)

ASESORÍA 6:

LEY O TEOREMA DEL SENO

SOLUCIÓN TALLER 3

Ejercicio 1. El niño de estatura 1,5m mira una torre de 8m de altura. Hallar el ángulo de elevación x.

Ejercicio 2. En la figura, el ángulo de elevación es 26º 36´. Angulo de depresión 33º 42´. Hallar la altura de cada edificio, si están a una distancia de 24m).

Ejercicio 3. Hallar el valor TODAS las funciones trigonométricas de los ángulos: 135º, 210º, 300º.

SOLUCIÓN TALLER 3

1. De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina las medidas correctas de los datos faltantes.

2. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120°. ¿Cuánto distan A y C?

3. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2 m, otro 1.5 m y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40°. Cuánto debe medir el ángulo opuesto al lado de 1.5 m para que la mesa si sea triangular?

4. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38° y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km/h y el otro a 3.5 km/h, Resuelve:

4.1 Al cabo de media hora, ¿qué distancia ha recorrido cada uno?

a) 1,5 m y 1,75 m b) 1,5 km y 1,75 km c) 3 km y 3,5 km d) 3 m y 3,5 m

4.2 ¿A qué distancia aproximada se encuentran al cabo de media hora?

a) 0,5 km b) 2 km c) 6,5 km d) 4,7 km

solución