11 Estadística

LÓGICA PROPOSICIONAL

ASESORÍA #1

Noción de conjuntos:

Se entiende por conjunto a toda aquella colección o agrupación o reunión de objetos cualesquiera; a los cuales les llamamos elementos del conjunto.

Ejemplo: El conjunto A esta formado por los elementos: 1, 2, 3, m, n

Notación:  Para nombrar un conjunto lo denotamos con una letra mayúscula; y si sus elementos contuvieran letras, estos se escriben en minúsculas.      

A = {1, 2, 3, m, n}

Determinación de un conjunto:

1. Por Extensión: se escriben todos los elementos del conjunto.

        A ={1, 3, 5}

        B = {-1, 1}

        C = {lunes, martes, .....sábado, domingo.}

2. Por Comprensión: se específica una característica del conjunto que los represente a todos

        A ={x/x es un número impar, x<7}

        B ={x/x² - 1 = 0}

        C ={x/x es un día de la semana}

Relación de Pertenencia: (Î)

                      Î

Elemento     →       conjunto

              Ï

       

Diagrama de Ven Euler:

Ej.: Si A = {2,4,7,9} 

  

Es un diagrama de Venn-Euler

Relación de Inclusión: (Ì): Sean los conjuntos A y B:

        A Ì B se lee “A esta incluido en B”

La inclusión se da cuando todos y cada uno de los elementos de A pertenecen a B; pudiendo o no B tener más elementos aparte de estos.

“Tener en cuenta que se trata de una relación entre conjuntos”.

Veamos gráficamente:

(conjunto) Ì (conjunto)

Ejemplos: Sean:

1) A = {x/x es un Antioqueño} y B ={y/y es un Colombiano}, luego

 A Ì B : “A esta incluido en B”

2) M = {2, 4, 6} y N ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, entonces

    N Ì M: “N incluye o contiene a M”

3) P = {a, b, c, d} y Q ={ f, g, h i, j}, luego

    P Ë Q: “P no está incluido en Q” y Q Ë P: “Q no está incluido en P”

Propiedades:

1) A Ì A , ∀ A

2) Sí: A Ì B y B Ì C Þ A Ì C

       
Nota: Tener en cuenta que de acuerdo al número de elementos que posee, puede ser:

a) Finito: Si posee una cantidad limitada de elementos.   A={1, 2, 3, 4}

b) Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de elementos.

B={ ....-2, -1, 0, 1, 2......}

Conjuntos Especiales:

1.   Vacío ó Nulo: conjunto sin elementos, se representa con el símbolo  Ø ,{ }

Nota: Se dice que A = Ø esta incluido en todo conjunto.

Ejemplo: D = {x/x ∈ N ∧ x+5 =0}  D = Ø = { }

2. Unitario o Singular (Singleton): conjunto con un solo elemento.

Ejemplo: A = {x/x ∈ N ∧ 6 < x < 8}, entonces  A ={7}

3. Universal: es conjunto de todos los conjuntos, se representa con la letra U.

Ejemplo: Dados los conjuntos 

A = {2, 6, 10, 12} y B = {x+3/ x es impar ∧ 0 < x < 10}
Podrían ser conjuntos universales:
U = {x/x ∈ N ∧ x < 13}
U = {0, 2, 4, 6, ......, 20}

       

Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.

 Gráficamente:

Ejemplo:
A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Operaciones entre Conjuntos:

1. Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.

Notación:  A ∪ B= {x/x Î A Ú x Î B}

Gráficamente 

Ejemplo: si  A = {3,4,5,8,9} ∧ B = {5,7,8,9,10}, entonces  

                                   A                           B

A ∪ B={3,4,5,7,8,9,10}

2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos donde los elementos pertenecen a A y a B.

Notación: A ∩ B= {x / x Î A Ù x Î B}

Gráficamente

Ejemplo: Si A={7,8,9,10,11,12} y B={5,6,9,11,13,14}, entonces

                                   A                           B

A ∩ B={9, 11}

3.- Diferencia de conjuntos:   La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.

Notación:   A - B  ={x / x ÎA Ù x Ï B}

                C = {u, v, x, y, z}           D = {s, t, z, v, p, q}

                C -  D = {x, y, u}

       

4.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A y que están en el universo.

Notación:   A^’ = {x / x ÎU Ù x ÏA}

                  A^’  = U -  A

        Gráficamente:

                 → A'

Ejemplo:

                 U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}

                 A^’= {1,2,5,8,9,10}

         5.- Diferencia Simétrica:   La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero no en A.

         Notación:   A D B= {x / x Î A Ù x Ï B} È {x / x ÏA Ù x ÎB}

                 

                  A D B= ( A - B ) È ( B -A )

           Gráficamente:

A= {1,3,4,5,6,7,20,30}        B={2,6,20,40,50}

              ADB= {1,3,4,5,7,30} È{2,40,50}

              ADB= {1,2,3,4,5,7,30,40,50}

         

       Cardinalidad:

                 n(AÈB)   =      n(A) + n(B) – n (AÇB)

                

  n(AÈ(BÈC)) =  n(A) + n(B) + n(C) - n(AÇB) - n(AÇC) – n(BÇC) + n(AÇ(BÇC))

        

EJEMPLOS VARIOS

1. Dados los conjuntos U = {x/ xÎZ, -4 < x < 7}

      A = {-2,-1,0,1,2,3}

      B = {-2,0,2,4,6}

      C = {-3,0,3,6}

Hallar

a.     (A ∪ B) ∩ C = {0, 3, 6}

b.     (B - A) ∩ (C Δ A) 

c.     (C - A) ∪ B

d.     (A’ ∩ B’) – (C – A’)

2. Dados los conjuntos

        U = {1, 2, 3, .............., 15}

        A = {x/x Î Z⁺, x < 6}

        B = {x/x Î N,√3 < x <√26}

        C = {x/x Î N, x > 10}

       

a.     Expresar los conjuntos por extensión

b.     Escribir varias relaciones entre los conjuntos dados (mínimo 5)

3.   Si los conjuntos A y B son iguales,  hallar: m + p

        A = {7, m + 3}              b = {12, p - 4}

        A) 20       B) 12      C) 18       D) 15           E) 10

4.   Dados los conjuntos iguales A, B y C 

       hallar m + t + s  (m, t, s  Î N)

        A = {15, 12, 9}            

       B = {2m, m + 3, 15}

        C = {s + 2, 12, 10 + t}

A)    12  B) 15   C) 18   D) 20   E) 21

5. Dado el conjunto;

        A ={ x+2/ x Є Z,  x² < 9}

        Calcule la suma de los elementos de A.

        A) 3   B) 7   C) 6   D) 9   E) 10

6.  Si:  n (A ∪ B) = 20      

        n (A -  B)= 12

        n (B - A) = 3

   
   hallar:    n (A) + n(B)

      A) 17                       B) 8                    C)   25      

      D) 30                       E)15

7.  En una encuesta realizada a cierto número de personas, se encuentra que el número de hombres que no les gusta limpiar la

casa es el triple del número de mujeres que si les gusta esta tarea. Si el número de los hombres que no les gusta limpiar es igual al número  de mujeres que no les gusta limpiar.  Hallar a cuántas personas se les hizo la encuesta, si a 20 personas les gusta limpiar la casa y a 10 hombres también les gusta esta tarea. 

      A) 80                       B) 70                  C) 60        

      D) 50                       E) 40

8.  En una cuadrilla de 400 soldados se tiene lo siguiente:

     - 250 no disparan con  metralleta

- 190 no disparan con fusil

- 100 no disparan estas armas

¿Cuántas personas disparan al menos una de  estas armas? 

A)  90                   B) 150                C) 240      

D)  300                E) 320

9.  De un total de personas,20% cocinan, el 40% lavan y el 45% de los que cocinan también lavan. ¿Qué porcentaje no lavan ni

cocinan?

      A) 31%                    B) 49%              C) 11%    

      D) 9%                      E) 40%

ASESORÍA TALLER 2 Y 3

LÓGICA PROPOSICIONAL

PROPOSICIÓN es un enunciado con valor de verdad. No son proposiciones las preguntas, las exclamaciones ni las órdenes.

Proposiciones simples: es la que representa con letra minúscula, ejemplo p, q, r

Hoy es lunes: p

Estamos en clase de Estadística: q

Proposición compuesta: es la unión de dos o más proposiciones simples, se unen con conectores lógicos. Los conectores lógicos son:

Conjunción “y” se representa con “∧” 

ejemplo: Hoy es lunes y estamos en estadística: p∧q

Disyunción: “o” se representa “∨” 

ejemplo: Hoy es lunes o estamos en clase de estadística: p∨q

CONDICIONAL O INFERENCIA: tiene por símbolo una flechita, se lee “si entonces”, p→q

Ejemplos:

Si hoy es martes entonces tenemos clase de estadística. p→q

Si hoy es martes entonces mañana es miércoles. p→r

Si gano todas las materias entonces me gradúo. s→t

Bicondicional: tiene por símbolo una doble flecha, se lee “si y solo si” p↔q

Ejemplos

Hoy es martes si y solo si ayer fue lunes. p↔n

Me pagan si y solo si trabajo v↔w

Gano el año si y solo si cumplo con los deberes z↔u

Negación no es conector pero operador, su símbolo es un moñito ∼

Ejemplos

Hoy no es martes ∼p

Si no gano todas las materias entonces me gradúo. ∼s→∼t

No gano el año si y solo si no cumplo con los deberes ∼z↔∼u

VALORES DE VERDAD DE LOS CONECTORES

Conjunción: es la y… ∧, la y es verdadera si los enunciados que une son ambos verdaderos

Ejemplo:

Juan es alto y delgado: solo es verdad si juan si es alto y delgado.

p: juan es alto

q: juan es delgado

p             q             p∧q

v             v               v

v             f                f

f              v               f

f              f                f

Disyunción: es la o … ∨, es verdadera si uno los dos enunciados es verdadero

Hoy es martes o miércoles

p: hoy es martes

q: hoy es miércoles

p             q             p∨q

v             v             v

v             f              v

f              v             v

f              f              f

 Condicional es el entonces, →, en este caso la única opción no posible es que de una verdad se llegue falsedad

Si hoy barrí entonces tengo que recoger la basura

p             q             p→q

v             v             v

v             f              f

f              v             v            

f              f              v

Bicondicional es el si y solo si ↔, es verdadero si ambos enunciados tienen igual valor de verdad

p             q             p↔q

v             v             v            

v             f              f

f              v             f             

f              f              v

 EJEMPLOS

1.     Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo: tienen 2 proposiciones, el conector es el

           p                                  q

condicional o entonces, simbolicémoslo p→q

Si relampaguea, entonces llueve de día o voy a misa. No es cierto que llueve de día. No voy a misa.

            r                                  l                       m                             ∼l                                ∼m

Por lo tanto, ni relampaguea ni llueve ni voy a misa.

                              ∼r                      ∼l              ∼m

 

r→( l ∨ m )                          ∼l                     ∼m =                   ∼r ∧ ∼l ∧ ∼m

Continuación del ejemplo anterior

(p ˄ q) → [ p ↔ (q ˅ p)]

 

p          q          p ∧ q     q v p      p↔(q v p)           (p ˄ q) → [ p ↔ (q ˅ p)]

v          v          v          v              v                                v

v          f           f           v              v                              v

f           v          f           v              f                              v

f           f           f           f               v                              v

Esta es una Tautología porque todos los casos son verdaderos, si todas dan falsas se dice que el enunciado es una contradicción.

SOLUCIONES

p	q	r	p ˄ q	q ˅ r	p ↔ (q ˅ r)	(p ˄ q) → [ p ↔ (q ˅ r)]
V	V	V	v	v	v	V
V	V	F	v	v	v	V
V	F	V	f	v	v	V
F	V	V	f	v	f	V
V	F	F	f	f	f	V
F	F	V	f	v	f	V
F	V	F	f	v	f	V
F	F	F	f	f	v	V

Es una Tautología.

LEYES LÓGICAS

Si relampaguea, entonces llueve de día o voy a misa. No es cierto que llueve de día. No voy a misa. Por lo tanto, ni relampaguea ni llueve ni voy a misa.

p: Relampaguea                     ∼p: no relampaguea    

q: llueve de día                        ∼q: no llueve de día

r: Voy a misa                           ∼r: no voy a misa

SOLUCIÓN 

1.     p → (q V r)

2.     ∼q

3.     ∼r              

∼p ˄ ∼q ˄ ∼r

1.     pfalsa → (q V r)falso    hipótesisverdadera

2.     ∼q                               hipótesis

3.     ∼r                                hipótesis

4.     ∼q ˄ ∼r                        Unión  2 y 3

5.     ∼(q V r)                        De Morgan 4 es verdadero

6.     ∼p                               Modus Tolendo Tolens MTT 1 y 5

7.     ∼p ˄ ∼q ˄ ∼r               Unión 6 y la 4    QED

Ejercicio 2 concluya r

 
1.    q → ∼p
2.    ∼q → r
3.    (p ʌ ∼r) v s
4.    (s v t) → r
5.    ∼r → q……    Contraposición 2
6.    ∼r → ∼p         transitividad o SH en 5 y 1
7.    r v ∼p …..       ley de la implicación en 6
8.    ∼(∼r ʌ p)…….De Morgan en 7
9.    ∼(p ʌ ∼r)…..  Conmutatividad
10.  s…                  MTP entre 3 y 9
11.  s v t…             Adición en 10
12.  r…                  MPP 4 y 11
QED

3.      Simbolice cada una de las proposiciones siguientes y pruebe el enunciado que va precedido de la expresión “por lo tanto” (que es una conclusión) se deduce como consecuencia lógica de ellas: 

 

Si relampaguea, entonces llueve de día o voy a misa. No es cierto que llueve de día. No voy a misa. Por lo tanto, ni relampaguea ni llueve ni voy a misa.

 

1.     p → (q v r)

2.     ∼q

3.     ∼r

 ∴∼p ˄ ∼q ˄ ∼ r

 

DEMOSTRACIÓN

1.     p → (q v r)

2.     ∼q

3.     ∼r

4.     (∼q ˄ ∼r) …………….. Adjunción en 2 y 3

5.    ∼(q v r) ……………….De Morgan en 4

6.    ∼p  ……………………… MTT en 1 y 5

7.    ∼p ˄ ∼q ˄ ∼r …………. Adjunción en 6 y 4

QED

                                               q                                 p

4.      Un sólo proveedor no puede afectar los precios si el mercado es libre. Si un sólo proveedor no puede afectar los precios, es que hay un gran número de proveedores. Es así que no hay un gran número de proveedores; luego, no es libre el mercado.

 

1.     p → ∼q

2.     ∼q → r

3.     ∼r

∴∼p

 

Demostración

 

1.     p → ∼q

2.     ∼q → r

3.     ∼r

4.     p → r …….. SH o transitividad en 1 y 2

5.     ∼p ……….. MTT en 4 y 3

QED

 

 

Demostración 2

1.     p → ∼q

2.     ∼q → r

3.     ∼r

4.     q ……… MTT 2 y 3

5.     ∼p ……. MTT 1 y 4

QED

ASESORÍA TALLER 4

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

 Límites de la clase: Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

Amplitud de la clase: La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase: La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo

para el cálculo de algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados

Dados los datos: 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 52, 15, 32, 13. Construir la tabla de frecuencias.

1.   Se halla el Rango de los datos, se localizan los valores mayor y menor de la distribución. En este caso son 52 y 3. Se restan: R= DM - Dm, es decir R= 51 – 3 = 48. 2.   Hallamos el número de intervalos con la fórmula de Sturges K = 1 + 3.3 Log N = 1 + 3.3 Log 40, recordar que N es el número total de datos. K = 6,2 como no hay intervalos mochos, aproximamos hasta K = 7. 3.   Hallamos la amplitud de los intervalos. A = R/K K = 48/7 = 6,8 aproximamos a 7, luego A = 7

ci fi Fi ni Ni % [3, 10) 6.5 2 2 0.050 0.05 5 [10, 17) 13.5 5 7 0.125 0.175 12 [17, 24) 20.5 3 10 0.075 0.25 8 [24, 31) 27.5 7 17 0.175 0.425 17 [31, 38) 34.5 12 29 0.300 0.725 30 [38, 45) 41.5 9 38 0.225 0.950 23 [45, 52) 48.5 2 40 0.050 1 5

 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.

Medidas de centralización: Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. Las medidas de centralización son:

Media aritmética: La media es el valor promedio de la distribución. Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ejemplo: En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla.

Calcula la puntuación media.

 

Intervalos xi fi xi · fi [10, 20) 15 1 15 [20, 30) 25 8 200 [30,40) 35 10 350 [40, 50) 45 9 405 [50, 60 55 8 440 [60,70) 65 4 260 [70, 80) 75 2 150     42 1820

La puntuación media es 43 aproximadamente

 

Mediana: Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me.

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir, tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre la mitad de los datos.

 

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana es N/2   es la semisuma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. ai es la amplitud de la clase. La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

 

.Moda: La moda es el valor que más se repite en una distribución.

 

1- Identificar cuál es el límite inferior de la clase modal, la cual será representada por el símbolo Li 2.- Determinar cuál es la frecuencia absoluta de la clase modal, la cual será representada por el símbolo Fi 3.- Así mismo, determinar cuál es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal. Esta medida se determina con el símbolo Fi – 1 4.- Por otro lado, también se debe establecer o identificar cuál es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal. Esta medida se identifica con el símbolo Fi + 1 5.- Finalmente, se deberá determinar la amplitud de clase, la cual se identifica con el símbolo ai